확산(Diffusion)이란 뭘까? 일단 '확산'이라는 말을 들으면 뭔가 퍼지는? 번지는? 느낌이 든다.
뭐 디퓨저(diffuser)도 생각나고...
일상적으로는 액체나 기체에서 많이 관찰되지만, 고체에서도 확산이 일어날 수 있다(그 속도가 매우 느릴 뿐).
이공계 학생이라면 누구나 한 번쯤은 이 '확산'이라는 개념을 본 적이 있을 것이다.
화학, 생물에서는 분자의 확산, 재료공학에서는 원자의 확산, 전자공학에서는 전자의 확산...
그 밖의 매우 다양한 분야에서도 심심치 않게 찾아볼 수 있을 만큼 매우 중요하고, 유용한 개념이다.
이렇듯 익숙하지만 다양한 형태로 존재하는 확산 현상을 잘 나타낸 매우 유명한 방정식이 있다.
바로 Fick의 법칙(Fick's laws of diffusion)이다.
Fick의 제1법칙 (정상상태 확산)
J(x)=−D∇n(x) [J=확산선속∗∗,D=확산계수,n=농도]
이 간단한 수식을 말로 풀어 설명하자면, 어떤 입자의 확산 선속(J)는 확산 계수와 농도 구배(기울기)에 비례하며, 확산 방향은 농도가 감소하는 방향이다. 즉, 확산의 구동력은 농도 구배이다*.
(-) 부호가 방향을 나타내는데, 다르게 말하면 이는 농도 차이를 감소시키는, 농도의 평형을 이루려는 방향으로 확산이 진행된다는 것이다.
*구동력(driving force)이라 해서 실제로 힘이 작용하는 것은 아니다. 자연에 존재하는 4대 힘(전자기력, 강력, 약력, 중력)을 생각해보면 그 어느 곳에도 속하지 않음을 알 수 있다. 결국 더 근본적으로 생각해봤을때 확산의 구동력은 엔트로피(무질서도)의 증가이며, 확산 과정에서 원자들 간의 상호작용은 전자기력(원자, 분자들간의 인력, 척력) 개념으로 확산계수 D에 포함된다.
**확산 선속(J)은 단위 시간당 단위 면적을 통과하는 질량(혹은 원자의 개수)로 정의된다.**


Fick의 제 1법칙은 위 그림 양쪽 표면에 확산 종의 농도가 일정하게 유지되고, 확산 선속이 시간이 변해도 일정한(들어오는 확산 종의 질량과 빠져나가는 질량과 같은 = 판 내부에 확산 종의 축적이 없는) 정상상태 확산을 설명한다.
이 식을 좀 더 깊게 파고들면, 확산 계수 D에 대한 이야기를 해볼 수 있다. 하지만 이야기가 너무 길어질 수 있기 때문에 간단히 말하면,
확산 계수 D는 온도가 증가함에 따라 지수적으로 증가하고, 활성화 에너지(Activation Energy)가 증가하면 지수적으로 감소한다.
더 자세한 이야기는 2편에서 다룰 예정이다.
Fick의 제 2법칙 (비정상상태 확산)
∂n∂t=∇⋅(D(x)∇n(x))
만약 확산 계수 D가 위치에 관계없이 일정하다면,
∂n∂t=D∇2n(x)
Fick의 제 1법칙에서는 확산의 구동력(driving force)인 농도 구배가 일정한, 확산 종의 축적이나 고갈이 배제된 정상상태 확산을 다루었다.
하지만 실제로 대부분의 확산은 비정상상태 확산이다.
Fick의 제 2법칙은 제1법칙의 J(확산 유량)와 연속 방정식[물리량이 보존되어 이동하는 상태를 다룬 방정식]으로부터 유도되는 식으로, 1법칙과는 달리 시간(t)에 대한 방정식으로 표현된다.
제1법칙보다는 다소 복잡해 보이는 이 식의 의미를 살펴보면 다음과 같다.
"농도의 시간에 대한 1차 미분은 확산 계수와 농도의 거리에 대한 2차 미분의 곱과 같다"
좀 더 직관적으로 접근해 보면 시간(t)이 흐름에 따라 농도 차이가 감소하는 방향으로 확산이 일어나는데(농도의 변화) 그 변화율은 확산 계수 D와 농도 n의 거리에 대한 2차 미분의 곱과 같다.
즉 시간이 갈수록 거리에 따른 농도 기울기는 감소하므로 시간에 따른 농도 변화율도 감소한다는 의미이다.
그럼 이제 정성적인 의미는 알겠는데, 이를 어떻게 활용한다는 뜻일까? 하는 의문이 남을 것이다.
앞서 Fick의 제 2법칙에 해당하는 편미분 방정식에 x=0에서의 농도Cs, x=infinit에서의 농도 C0 등의 경계 조건들을 적용하면 가우시안 오차 함수를 사용하여 Cx(t시간 후 깊이 x에서의 농도)를 구할 수 있다.
Cx−CoCs−Co=1−erf(x2√Dt)
이 식과 가우시안 오차 함수 표를 이용하여 임의의 원하는 농도 C1을 얻고 싶다고 할 때
C1−CoCs−Co=constant
를 만족하므로
x2√Dt=constant
라는 결과가 도출되어 이를 바탕으로 어떤 확산이 진행될 때 시간(t), 공간(x)에 대한 농도(C) 정보를 얻을 수 있다.
이번 포스팅에서는 Fick의 제 1법칙과 2법칙을 간략하게 다루고, 그 정성적, 정량적 의미를 알아보았다.
2편에서는 확산계수 D에 관련된 이야기와 실제 사례를 바탕으로 고체에서의 확산 메커니즘을 좀 더 구체적으로 다뤄 볼 것이다.
*참고문헌
[1] Wiiliam D. Callister.JR. David G. Rethwisch - Rundamentals of materials science and engineering(5th edtion)
[2] 위키백과 - 픽의 확산 법칙
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